기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 포물선과 초점

문제

그림과 같이 점 F\mathrm{F}가 초점인 포물선 y2=4pxy ^{2} = 4 px 위의 점 P\mathrm{P}를 지나고 yy축에 수직인 직선이 포물선 y2=−4pxy ^{2} = \mathit{-} 4 px와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. OP‾=PF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = {\overline{\mathrm{PF}}}이고 PQ‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 6일 때, 선분 PF\mathrm{PF}의 길이는? (단, O\mathrm{O}는 원점이고, pp는 양수이다.) [3점]

①77②88③99④1010⑤1111

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③

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해설

[출제의도] 포물선의 성질을 이해한다.

두 포물선 y2=4pxy ^{2} = 4 px와 y2=−4pxy ^{2} = \mathit{-} 4 px는 yy축에 대하여 대칭이므로 직선 QP\mathrm{QP}와 yy축이 만나는 점을 M\mathrm{M}이라 하면 PM‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} = 3이고, 점 P\mathrm{P}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 OH‾=PM‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = {\overline{\mathrm{PM}}} = 3이므로 p=6p = 6 즉 포물선 y2=4pxy ^{2} = 4 px의 준선의 방정식은 x=−6x = \mathit{-} 6이다. 따라서 포물선의 정의에 의해 PF‾=6+PM‾=6+3=9\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 6 + {\overline{\mathrm{PM}}} = 6 + 3 = 9

태그

#포물선의 정의#준선

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