두 포물선 꼭짓점 사각형

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 주어진 조건을 만족시키는 상수의 값을 구한다. $f ( x )$$= ax ^{2} - 4 ax + 5 a + 1$$= a \left( x - 2 \right) ^{2} + a + 1$ 이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( 2 , a + 1 \right)$ $g ( x )$$= \mathit{-} x ^{2} - 2 ax$$= \mathit{-} \left( x + a \right) ^{2} + a ^{2}$ 이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( - a , a ^{2} \right)$ $f ( x )$$= ax ^{2} - 4 ax + 5 a + 1$에 $x = 0$을 대입하면 $f ( 0 )$$= a \times 0 ^{2} - 4 a \times 0 + 5 a + 1$$= 5 a + 1$ 이므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( 0 , 5 a + 1 \right)$ $\square \mathrm{OACB}$$= \mathrm{\triangle} OAC + \triangle OCB$ $\displaystyle = \frac{\left( 5 a + 1 \right) \times 2}{2} + \frac{\left( 5 a + 1 \right) \times a}{2}$$\displaystyle = \frac{\left( 5 a + 1 \right) \left( 2 + a \right)}{2}$$= 7$ $\left( 5 a + 1 \right) \left( 2 + a \right)$$= 14$ $5 a ^{2} + 11 a - 12$$= 0$ $\left( 5 a - 4 \right) \left( a + 3 \right) = 0$ $\displaystyle a = \frac{4}{5}$ 또는 $a = \mathit{-} 3$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{4}{5}$