두 내심 사이 거리

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$인 이등변삼각형이므로 각 $\mathrm{BAC}$의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 각 ${\mathrm{BAC}}$의 이등분선이 선분 ${\mathrm{BC}}$와 만나는 점을 ${\mathrm{M}}$이라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BM}}} = \overline{{\mathrm{CM}}} = 20$, $\angle {\mathrm{AMB}} \mathit{=} 90 ^\circ$ 직각삼각형 ${\mathrm{ABM}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BM}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AM}}} ^{2}$, $\displaystyle 25 ^{2} = 20 ^{2} + {\overline{\mathrm{AM}}} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} ^{2} = 225$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = 15$ 점 $\mathrm{I}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 선분 $\mathrm{AM}$ 위에 있다. 두 삼각형 $\mathrm{ABM}$, $\mathrm{CBD}$에서 각 $\mathrm{MBA}$는 공통이고 $\angle \mathrm{AMB} \mathit{=} \angle \mathrm{CDB} \mathit{=} 90 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{ABM}$과 삼각형 $\mathrm{CBD}$는 서로 닮음이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{CB}}} = {\overline{\mathrm{BM}}} : {\overline{\mathrm{BD}}}$에서 $\displaystyle 25 : 40 = 20 : {\overline{\mathrm{BD}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{40 \times 20}{25} = 32$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{BD}}} - {\overline{\mathrm{BA}}} = 32 - 25 = 7$ 마찬가지로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{CB}}} = {\overline{\mathrm{AM}}} : {\overline{\mathrm{CD}}}$에서 $\displaystyle 25 : 40 = 15 : {\overline{\mathrm{CD}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{40 \times 15}{25} = 24$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원의 반지름의 길이를 $x$라 하면 점 ${\mathrm{I}}$가 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 내심이므로 점 ${\mathrm{I}}$에서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 세 변 ${\mathrm{AB}}$, ${\mathrm{BC}}$, ${\mathrm{CA}}$에 이르는 거리가 $x$로 모두 같다. 세 삼각형 ${\mathrm{ABI}}$, ${\mathrm{BCI}}$, ${\mathrm{CAI}}$의 밑변을 각각 선분 ${\mathrm{AB}}$, 선분 ${\mathrm{BC}}$, 선분 ${\mathrm{CA}}$라 하면 높이는 모두 $x$이므로 $\triangle \mathrm{ABC}$$= \triangle \mathrm{ABI} \mathit{+} \triangle \mathrm{BCI} \mathit{+} \triangle \mathrm{CAI}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{AB}}} \times x + \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{BC}}} \times x + \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{CA}}} \times x$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( 25 + 40 + 25 ) \times x$ $= 45 x$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 밑변을 선분 ${\mathrm{BC}}$라 하면 높이가 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AM}}}$이므로 $\triangle \mathrm{ABC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{AM}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 40 \times 15 = 300$ 그러므로 $45 x = 300$에서 $\displaystyle x = \frac{20}{3}$

삼각형 $\mathrm{DBC}$의 내접원의 반지름의 길이를 $y$라 하면 점 ${\mathrm{J}}$가 삼각형 $\mathrm{DBC}$의 내심이므로 점 ${\mathrm{J}}$에서 삼각형 ${\mathrm{DBC}}$의 세 변 ${\mathrm{DB}}$, ${\mathrm{BC}}$, ${\mathrm{CD}}$에 이르는 거리가 $y$로 모두 같다. 세 삼각형 ${\mathrm{DBJ}}$, ${\mathrm{BCJ}}$, ${\mathrm{CDJ}}$의 밑변을 각각 선분 ${\mathrm{DB}}$, 선분 ${\mathrm{BC}}$, 선분 ${\mathrm{CD}}$라 하면 높이는 모두 $y$이므로 $\triangle \mathrm{DBC}$$= \triangle {\mathrm{DBJ}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{BCJ}} \mathit{+} \triangle {\mathrm{CDJ}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{DB}}} \times y + \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{BC}}} \times y + \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{CD}}} \times y$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( 32 + 40 + 24 ) \times y$ $= 48 y$ 삼각형 ${\mathrm{DBC}}$에서 밑변을 선분 ${\mathrm{BD}}$라 하면 높이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$이므로 $\triangle \mathrm{DBC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 32 \times 24 = 384$ 그러므로 $48 y = 384$에서 $y = 8$ 직각삼각형 $\mathrm{IBM}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IB}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BM}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{IM}}} ^{2}$$\displaystyle = 20 ^{2} + \left( \frac{20}{3} \right) ^{2} = \frac{4000}{9}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{IB}}} = \frac{20 \sqrt{10}}{3}$ 점 ${\mathrm{J}}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{N}$이라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{IBM}$, $\mathrm{JBN}$에서 각 $\mathrm{MBI}$는 공통이고, $\angle \mathrm{IMB} \mathit{=} \angle \mathrm{JNB} \mathit{=} 90 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{IBM}$과 삼각형 ${\mathrm{JBN}}$은 서로 닮음이고, 그 닮음비는 $\displaystyle x : y = \frac{20}{3} : 8 = 5 : 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{JB}}} = \frac{6}{5} {\overline{\mathrm{IB}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IJ}}} = {\overline{\mathrm{JB}}} - {\overline{\mathrm{IB}}} = \frac{6}{5} {\overline{\mathrm{IB}}} - {\overline{\mathrm{IB}}} = \frac{1}{5} {\overline{\mathrm{IB}}} = \frac{1}{5} \times \frac{20 \sqrt{10}}{3}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IJ}}} = \frac{4 \sqrt{10}}{3}$