두 무한급수가 모두 수렴하는 정수의 개수

$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 2 - \log _{2} a \right) ^{n}$이 수렴하므로 $\left| 2 - \log _{2} a \right| < 1$ $1 < \log _{2} a < 3$ ∴ $2 < a < 8$ ⋯⋯ ㉠ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 2 \sin \frac{a - 3}{2} \right) ^{n}$이 수렴하므로 $\displaystyle \left| 2 \sin \frac{a - 3}{2} \right| < 1$ ∴ $\displaystyle \left| \sin \frac{a - 3}{2} \right| < \frac{1}{2}$ ⋯⋯ ㉡ ㉠에서 정수 $a$는 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$이다. 따라서 가능한 $\displaystyle \frac{a - 3}{2}$의 값은 $0$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, $1$, $\displaystyle \frac{3}{2}$, $2$ $\displaystyle \frac{1}{2} < \frac{\pi}{6} < 1$, $\displaystyle 2 < \frac{5}{6} \pi$이므로 ㉡을 만족시키는 $\displaystyle \frac{a - 3}{2}$의 값은 $0$, $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 정수 $a$의 개수는 $3$, $4$로 두 개다.