확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 모둠 평균과 표준편차

문제

표는 두 모둠 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 수행평가 점수와 인원을 나타낸 것이다.

$\mathrm{A}$ 모둠	점수(점)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	계
$\mathrm{A}$ 모둠	인원(명)	$3$	$1$	$2$	$1$	$3$	$10$

$\mathrm{B}$ 모둠	점수(점)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	계
$\mathrm{B}$ 모둠	인원(명)	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$10$

두 모둠 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 수행평가 점수의 평균을 각각 $m _{\mathrm{A}}$ , $m _{\mathrm{B}}$ 라 하고, 표준편차를 각각 $\sigma _{\mathrm{A}}$ , $\sigma _{\mathrm{B}}$ 라 할 때, 다음 중 옳은 것은? [3점] ① $m _{\mathrm{A}} = m _{\mathrm{B}}$ , $\sigma _{\mathrm{A}} = \sigma _{\mathrm{B}}$ ② $m _{\mathrm{A}} = m _{\mathrm{B}}$ , $\sigma _{\mathrm{A}} > \sigma _{\mathrm{B}}$ ③ $m _{\mathrm{A}} = m _{\mathrm{B}}$ , $\sigma _{\mathrm{A}} < \sigma _{\mathrm{B}}$ ④ $m _{\mathrm{A}} < m _{\mathrm{B}}$ , $\sigma _{\mathrm{A}} = \sigma _{\mathrm{B}}$ ⑤ $m _{\mathrm{A}} < m _{\mathrm{B}}$ , $\sigma _{\mathrm{A}} < \sigma _{\mathrm{B}}$

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②

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해설

[출제의도] 두 자료의 평균과 표준편차의 값을 비교할 수 있는가를 묻는 문제이다. 두 모둠의 점수가 $2$ 점을 중심으로 대칭인 분포를 이루고 있으므로 평균은 $2$ 점으로 같다. 또, B모둠은 A모둠의 $0$ 점이 $1$ 점으로, $4$ 점이 $3$ 점으로 각각 $1$ 명씩 이동한 것과 같으므로 B의 편차의 제곱의 평균(분산)은 A의 분산보다 작다. 따라서 B의 표준편차는 A의 표준편차보다 작다. [다른 풀이] $\displaystyle m _{\mathrm{A}} = \frac{0 \times 3 + 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 1 + 4 \times 3}{10} = 2$ $\displaystyle m _{\mathrm{B}} = \frac{0 \times 2 + 1 \times 2 + 2 \times 2 + 3 \times 2 + 4 \times 2}{10} = 2$ $\therefore m _{\mathrm{A}} = m _{\mathrm{B}}$ $\displaystyle \sigma _{\mathrm{A}} = \sqrt{\frac{3 \times ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2} + 3 \times 2 ^{2}}{10}} = \sqrt{\frac{13}{5}}$ $\displaystyle \sigma _{\mathrm{B}} = \sqrt{\frac{2 \times ( - 2 ) ^{2} + 2 \times ( - 1 ) ^{2} + 2 \times 1 ^{2} + 2 \times 2 ^{2}}{10}} = \sqrt{2}$ $\therefore \sigma _{\mathrm{A}} > \sigma _{\mathrm{B}}$

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