두 주사위 중 큰 눈의 기댓값

두 주사위에서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 하자. ⅰ) $X = 1$인 경우는 $( a , b ) = ( 1 , 1 )$로 한 가지이다. ⅱ) $X = k$($k = 2$, $3$, ⋯, $6$)인 경우의 수는 $a$, $b$ 모두 $k$ 이하인 순서쌍 $( a , b )$의 개수에서 $a$, $b$ 모두 $k - 1$ 이하인 순서쌍 $( a , b )$의 개수를 뺀 값 $k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2} = 2 k - 1$이다. ⅰ), ⅱ)에서 $X = k$($k = 1$, $2$, ⋯, $6$)인 경우의 수는 $2 k - 1$개다. 전체 경우의 수는 $6 ^{2} = 36$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( X = k ) = \frac{2 k - 1}{36}$이다. ∴${\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{6} k \cdot {\mathrm{P}} ( X = k )$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{6} \frac{2 k ^{2} - k}{36}$$\displaystyle = \frac{161}{36}$ ∴ ${\mathrm{E}} ( 6 X )$$= 6 {\mathrm{E}} ( X )$$\displaystyle = \frac{161}{6}$ ∴ $p = 161$, $q = 6$ ∴ $p + q = 167$