확률과 통계조건부확률수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

두 주머니 카드 조건부확률

문제

11부터 44까지의 자연수가 하나씩 적힌 44장의 카드가 들어 있는 주머니 A{\mathrm{A}}와 22부터 55까지의 자연수가 하나씩 적힌 44장의 카드가 들어 있는 주머니 B{\mathrm{B}}가 있다. 두 주머니 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 kk일 때, kk가 33의 배수이면 주머니 A{\mathrm{A}}에서 임의로 22장의 카드를 동시에 꺼낸 후 주머니 B{\mathrm{B}}에서 임의로 22장의 카드를 동시에 꺼내고, kk가 33의 배수가 아니면 주머니 A{\mathrm{A}}에서 임의로 11장의 카드를 꺼낸 후 주머니 B{\mathrm{B}}에서 임의로 11장의 카드를 꺼낸다.

이 시행을 한 번 하여 두 주머니 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}에서 꺼낸 카드 중 같은 숫자가 적힌 카드가 있을 때, 꺼낸 카드 중 숫자 44가 적힌 카드의 개수가 22일 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

A{\mathrm{A}}B\mathrm{B}
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34

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해설

시행을 한 번 하여 두 주머니 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}에서 꺼낸 카드 중 같은 숫자가 적힌 카드가 있는 사건을 XX, 숫자 44가 적힌 카드의 개수가 22인 사건을 YY라 하자. (Ⅰ) kk가 33의 배수인 경우 주머니 A{\mathrm{A}}에서 임의로 22장의 카드를 동시에 꺼낸 후 주머니 B{\mathrm{B}}에서 임의로 22장의 카드를 동시에 꺼내는 경우의 수는 4C2×4C2=36\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 36 같은 숫자가 적힌 카드가 있는 경우의 수는 ① 같은 숫자가 적힌 카드가 11쌍일 때, 3C1×(3C1×3C1−2)=21\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \left( \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} - 2 \right) = 21 ② 같은 숫자가 적힌 카드가 22쌍일 때, 3C2×2C2=3\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 3 kk가 33의 배수일 때 같은 숫자가 적힌 카드가 있을 확률은 13×(2136+336)=29\displaystyle \frac{1}{3} \times \left( \frac{21}{36} + \frac{3}{36} \right) = \frac{2}{9} (Ⅱ) kk가 33의 배수가 아닌 경우 주머니 A{\mathrm{A}}에서 임의로 11장의 카드를 꺼낸 후 주머니 B{\mathrm{B}}에서 임의로 11장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 4C1×4C1=16\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 16 이 중 같은 숫자가 적힌 카드를 꺼내는 경우는 같은 숫자가 적힌 카드가 11쌍인 경우이므로 꺼내는 경우의 수는 3C1×1C1=3\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 3 kk가 33의 배수가 아닐 때 같은 숫자가 적힌 카드가 있을 확률은 23×316=18\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{3}{16} = \frac{1}{8} (Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여 P(X)=29+18=2572\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X \right) = \frac{2}{9} + \frac{1}{8} = \frac{25}{72} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ (ⅰ) kk가 33의 배수인 경우 같은 숫자가 적힌 카드가 있고 숫자 44가 적힌 카드의 개수가 22인 경우의 수는 3C1×3C1=9\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 9 kk가 33의 배수일 때 같은 숫자가 적힌 카드가 있고 숫자 44가 적힌 카드의 개수가 22일 확률은 13×936=112\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{9}{36} = \frac{1}{12} (ⅱ) kk가 33의 배수가 아닌 경우 같은 숫자가 적힌 카드가 있고 숫자 44가 적힌 카드의 개수가 22인 경우의 수는 1C1×1C1=1\mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 1 kk가 33의 배수가 아닐 때 같은 숫자가 적힌 카드가 있고 숫자 44가 적힌 카드의 개수가 22일 확률은 23×116=124\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{24} (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 P(X∩Y)=112+124=18\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X \cap Y \right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8} ⋯\cdots⋯\cdots ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 P(Y∣X)=P(X∩Y)P(X)=182572=925\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} Y \left| X \right) = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( X \right)}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{25}{72}} = \frac{9}{25} p=25p = 25, q=9q = 9 따라서 p+q=34p + q = 34

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