확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 주머니 구슬 확률

문제

주머니 A\mathrm{A}에는 흰 구슬 22개, 검은 구슬 11개가 들어 있고, 주머니 B\mathrm{B}에는 흰 구슬 11개, 검은 구슬 22개가 들어 있다. 한 개의 주사위를 던져서 33의 배수의 눈이 나오면 주머니 A\mathrm{A}에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼내고, 33의 배수가 아닌 눈이 나오면 주머니 B\mathrm{B}에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낸다. 주사위를 44번 던지고 난 후에 주머니 A\mathrm{A}에는 검은 구슬이, 주머니 B\mathrm{B}에는 흰 구슬이 각각 한 개씩 남아 있을 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.) [4점]

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해설

주사위를 한 번 던질 때, 33의 배수의 눈의 나올 확률은 26=13\displaystyle \frac{2}{6} = \frac{1}{3}이고 33의 배수가 아닌 눈이 나올 확률은 1−13=23\displaystyle 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}이다. 따라서 주사위를 한 번 던질 때, 주머니 A\mathrm{A}에서 공을 꺼낼 확률은 13\displaystyle \frac{1}{3}이고 주머니 B\mathrm{B}에서 공을 꺼낼 확률은 23\displaystyle \frac{2}{3}이다. 주어진 조건을 만족시키는 경우는 주머니 A\mathrm{A}에서 흰 구슬을 11개씩 22번 꺼내고, 주머니 B\mathrm{B}에서 검은 구슬을 11개씩 22번 꺼내는 경우이다. 주사위 44번을 던지는 시행 중 주머니 A\mathrm{A}와 B\mathrm{B}에서 각각 22개씩의 구슬을 꺼낼 확률은 4C2(13)2(23)2=827\displaystyle {}_{4} {\mathrm{C}} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \frac{8}{27} 주머니 A\mathrm{A}에서 공을 꺼내는 두 번의 시행에서 모두 흰 구슬을 꺼낼 확률은 23×12=13\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} 주머니 B\mathrm{B}에서 공을 꺼내는 두 번의 시행에서 모두 검은 구슬을 꺼낼 확률은 23×12=13\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} 따라서 구하는 확률은 827×13×13\displaystyle \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=8243\displaystyle = \frac{8}{243} ∴ p=243p = 243, q=8q = 8 ∴ p+q=251p + q = 251

태그

#경우 나누기#확률의 곱셈

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