공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 집합의 합집합이 나타내는 영역의 넓이

문제

두 집합 A={(x,y)∣x2+y2−2x≤0},A = \left\{ ( x , y ) | x ^{2} + y ^{2} - 2 x \leq 0 \right\} , B={(x,y)∣x≥0,∣y∣≤3(1−x)}\displaystyle B = \left\{ ( x , y ) | x \geq 0 , | y | \leq \sqrt{3} ( 1 - x ) \right\} 에 대하여 A∪BA \cup B의 넓이를 구하면?

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3+23π\displaystyle \sqrt{3} + \frac{2}{3} \pi

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해설

그림에 집합 AA와 집합 BB의 영역을 나타내었다. 구하고자 하는 면적은 빗금 친 부분이다. 직선 y=3(x−1)\displaystyle y = \sqrt{3} ( x - 1 )이 xx축의 양의 방향과 이루는 각도를 θ\theta라 하면 tan⁡θ=\tan \theta =기울기 의 관계로부터 θ=60∘\theta = 60 ^\circ임을 알 수 있다. 따라서 빗금 친 면적은 삼각형과 중심각이 240∘240 ^\circ인 부채꼴 면적의 합이다. 12⋅1⋅23+12⋅12⋅43π=3+23π\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 ^{2} \cdot \frac{4}{3} \pi = \sqrt{3} + \frac{2}{3} \pi

태그

#원의 방정식#부채꼴의 넓이

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