두 집단 합친 분산

[출제의도] 자료의 분산 구하기 남학생의 수를 $x ,$ 여학생의 수를 $y$라 하면 전체의 평균은 $\displaystyle \frac{4 x + 7 ( 30 - x )}{30} = 5$이므로 $x = 20$이고, $y = 10$이다. 이 때, 남학생 $20$명의 점수를 $a _{1} , a _{2} , \cdots , a _{20}$, 여학생 $10$명의 점수를 $b _{1} , b _{2} , \cdots , b _{10}$이라 하면 $\displaystyle \frac{a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{20} ^{2}}{20} - 4 ^{2} = 4$, $\displaystyle \frac{b _{1} ^{2} + b _{2} ^{2} + \cdots + b _{10} ^{2}}{10} - 7 ^{2} = 6$이므로 ${a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{20} ^{2}} = 400$, ${b _{1} ^{2} + b _{2} ^{2} + \cdots + b _{10} ^{2}} = 550$이다. 따라서, 전체의 분산은 $\displaystyle \frac{a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{20} ^{2} + b _{1} ^{2} + b _{2} ^{2} + \cdots + b _{10} ^{2}}{30} - 5 ^{2} = \frac{20}{3}$이다.