두 직선의 각과 기울기

[출제의도] 도형과 관련된 성질을 직선의 기울기를 이용하여 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 직선 $y = m x$의 기울기는 직선 $y = nx$의 기울기의 $4$배이므로 $m = 4 n$이다.

점 $\mathrm{A} ( 1 , 0 )$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 두 직선 $y = mx$, $y = nx$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B} , C$라 하면 $\mathrm{B} ( 1 , \mathit{m} ) , \mathrm{C} ( 1 , \mathit{n} )$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = n , \overline{\mathrm{BC}} = m - n$ 직선 $y = nx$는 $x$축과 직선 $y = mx$가 이루는 각의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} : \overline{OB} = \overline{AC} : \overline{BC}$ 가 성립한다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} \frac{= \mathit{1} \cdot ( m - n )}{n}$$= 3$ (∵ $m = 4 n$) 따라서 직각삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 $3 ^{2} = 1 ^{2} + m ^{2}$ $\displaystyle m = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle n = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ∴ $mn = 2$