두 직선과 y축이 만드는 넓이

[출제의도] 삼각형의 넓이와 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. (ⅰ) $\displaystyle a > \frac{2}{3}$일 때

$y = ax$, $\displaystyle y = \frac{2}{3} x + 2$가 제$1$사분면에서 만날 때 두 직선과 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $6$이므로 교점의 $x$좌표는 $6$이 되어야 한다. 이때, 교점의 $y$좌표는 $6$이 된다. 따라서 $a$의 값은 $\displaystyle a = \frac{6}{6} = 1$이다. (ⅱ) $\displaystyle 0 < a < \frac{2}{3}$일 때

$y = ax$, $\displaystyle y = \frac{2}{3} x + 2$가 제$3$사분면에서 만날 때 두 직선과 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $6$이므로 교점의 $x$좌표는 $- 6$이 되어야 한다. 이때, 교점의 $y$좌표는 $- 2$가 된다. 따라서 $a$의 값은 $\displaystyle a = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}$이다. (ⅲ) $a \leq 0$일 때

$y = ax$, $\displaystyle y = \frac{2}{3} x + 2$와 $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이의 최댓값은 $3$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$