중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 직선과 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 두 직선 $y = ax + b$ 와 $y = bx + a$ 가 $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 이 두 직선이 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 의 $y$ 좌표가 $8$ 이고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $3$ 일 때, $2 a + b$ 의 값은? (단, $0 < a < b$ 이다.) [4점]

① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$

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①

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해설

[출제의도] 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 방정식 $y = ax + b$ 와 $y = b x + a$ 을 연립하여 풀면 $ax + b = b x + a$ $( a - b ) x = a - b$ $a \ne b$ 이므로 $x = 1$ 따라서 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표는 $\mathrm{(} 1 , 8 )$ $x = 1$ , $y = 8$ 을 $y = ax + b$ 에 대입하면 $8 = a + b$ … ㉠ 한편, 두 직선과 $y$ 축과의 교점을 각각 점 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 라 하면 이 점들의 $y$ 좌표는 각각 $b$ , $a$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $3$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( b - a ) \times 1 = 3$ $b - a = 6$ … ㉡㉠，㉡ 을 연립하여 풀면 $a = 1$ , $b = 7$ ∴ $2 a + b = 9$

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