미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 직선에 접하는 원 극한

문제

자연수 nn에 대하여 두 직선 y=nxy = nx, y=2nxy = 2 nx에 동시에 접하는 어떤 원의 중심과 원점을 지나는 직선의 기울기를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞ann\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n}}의 값은? (단, 원의 중심은 제11사분면 위에 있다.) [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②43\displaystyle \frac{4}{3}③54\displaystyle \frac{5}{4}④65\displaystyle \frac{6}{5}⑤76\displaystyle \frac{7}{6}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원의 중심은 직선 y=anxy = a _{n} x 위의 점이므로 (α,anα)( \alpha , a _{n} \alpha )로 놓을 수 있다. 점 (α,anα)( \alpha , a _{n} \alpha )와 두 직선 y=nx,y=2nxy = nx , y = 2 nx 사이의 거리가 서로 같으므로 ∣nα−anα∣n2+1=∣2nα−anα∣4n2+1\displaystyle \frac{\left| n \alpha - a _{n} \alpha \right|}{\sqrt{n ^{2} + 1}} = \frac{\left| 2 n \alpha - a _{n} \alpha \right|}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}}이다. α>0,n<an<2n\alpha > 0 , n < a _{n} < 2 n이므로 −n+ann2+1=2n−an4n2+1\displaystyle \frac{- n + a _{n}}{\sqrt{n ^{2} + 1}} = \frac{2 n - a _{n}}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}}에서 ann=2n2+1+4n2+1n2+1+4n2+1\displaystyle \frac{a _{n}}{n} = \frac{2 \sqrt{n ^{2} + 1} + \sqrt{4 n ^{2} + 1}}{\sqrt{n ^{2} + 1} + \sqrt{4 n ^{2} + 1}} ∴ lim⁡n→∞ann=43\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n}} = \frac{4}{3}

태그

#점과 직선 사이의 거리#수열의 극한

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로