두 직선에 접하는 원

[출제의도] 역함수의 그래프의 성질을 이용하여 사각형의 넓이를 구한다. 원의 중심의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 하면 원의 중심으로부터 두 직선까지의 거리가 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| a - 3 b \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}} = \frac{\left| 3 a - b \right|}{\sqrt{3 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}}$ $a - 3 b = \mathit{\pm} \left( 3 a - b \right)$ $a - 3 b = 3 a - b$에서 $b = \mathit{-} a$ $a - 3 b = \mathit{-} \left( 3 a - b \right)$에서 $b = a$ 따라서 원의 중심은 직선 $y = x$ 또는 직선 $y = \mathit{-} x$ 위에 있다.

(ⅰ) 원의 중심이 직선 $y = x$ 위에 있는 경우 원의 중심인 점 $\left( a , a \right)$와 직선 $3 x - y = 0$ 사이의 거리는 $4$이므로 $\displaystyle 4 = \frac{\left| 3 a - a \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{\left| 2 a \right|}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \left| 2 a \right| = 4 \sqrt{10}$ $\displaystyle a = \mathit{\pm} 2 \sqrt{10}$ 따라서 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left. \mathrm{A} \left( 2 \sqrt{10} , 2 \sqrt{10} \right) \right.$, $\displaystyle \mathrm{C} \left( - 2 \sqrt{10} , - 2 \sqrt{10} \right)$ (ⅱ) 원의 중심이 직선 $y = \mathit{-} x$ 위에 있는 경우 원의 중심인 점 $( a , - a )$와 직선 $3 x - y = 0$ 사이의 거리는 $4$이므로 $\displaystyle 4 = \frac{\left| 3 a - ( - a ) \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{\left| 4 a \right|}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \left| 4 a \right| = 4 \sqrt{10}$ $\displaystyle a = \mathit{\pm} \sqrt{10}$ 따라서 점 $\mathrm{B}$와 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B} \left( - \sqrt{10} , \sqrt{10} \right)$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( \sqrt{10} , - \sqrt{10} \right)$ 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$를 꼭짓점으로 하는 사각형은 두 선분 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$를 대각선으로 하는 마름모이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$\displaystyle = \sqrt{( - 2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} ) ^{2} + ( - 2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} ) ^{2}}$$\displaystyle = 8 \sqrt{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ \sqrt{10} - \left( - \sqrt{10} \right) \right\} ^{2} + ( - \sqrt{10} - \sqrt{10} ) ^{2}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{5}$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}$$= 80$