두 직선에 접하는 원

두 직선 $y = 2 x + 6$, $y = - 2 x + 6$에 모두 접하는 원의 중심을 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( a , b \right)}$, 반지름의 길이를 $r$라 하자. 점 $\mathrm{C}$와 직선 $2 x - y + 6 = 0$ 사이의 거리는 $r$이고 점 $\mathrm{C}$와 직선 $2 x + y - 6 = 0$ 사이의 거리도 $r$이므로 $\displaystyle r = \frac{\left| 2 a - b + 6 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = \frac{\left| 2 a + b - 6 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 에서 $\left| 2 a - b + 6 \right| = \left| 2 a + b - 6 \right|$이고, $2 a - b + 6 = 2 a + b - 6$이면 $b = 6$, $2 a - b + 6 = - \left( 2 a + b - 6 \right)$이면 $a = 0$이다. 중심이 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( a , 6 \right)}$이고 두 직선 $y = 2 x + 6$, $y = - 2 x + 6$에 모두 접하는 원은 $\left( 2 , 0 \right)$을 지날 수 없으므로 $b \neq 6$ 그러므로 $a = 0$이고, 원의 중심 $\mathrm{C}$의 좌표는 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( 0 , b \right)}$ 점 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( 0 , b \right)}$에서 점 $\left( 2 , 0 \right)$까지의 거리가 $r$이므로 ㉠에 의하여 $\displaystyle \sqrt{\left( 2 - \right) ^{2} + \left( 0 - b \right) ^{2}} = \frac{\left| b - 6 \right|}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle b ^{2} + 4 = \frac{\left( b - 6 \right) ^{2}}{5}$ $4 b ^{2} + 12 b - 16 = 4 \left( b + 4 \right) \left( b - 1 \right) = 0$ 에서 $b = - 4$ 또는 $b = 1$ 그러므로 두 직선 $y = 2 x + 6$, $y = - 2 x + 6$에 모두 접하는 두 원의 중심 ${\mathrm{O}} \mathit{_{1}}$, ${\mathrm{O}} \mathit{_{2}}$의 좌표는 $\left( 0 , - 4 \right)$, $\left( 0 , 1 \right)$ 따라서 선분 ${\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{O}} \mathit{_{2}}$의 길이는 $\mathrm{5}$