두 직선 위 점 최솟값

[출제의도] 원의 방정식을 이용하여 점과 직선 사이의 거리 구하기 주어진 등식 $( x - y - 3 ) ( x + y - 2 ) = 0$을 만족하는 도형은 아래 두 직선과 같다.

$y = - x + 2$ $y = x - 3$

$6 ( x ^{2} + y ^{2} )$에서 $x ^{2} + y ^{2} = k$라 두면 점 $( x , y )$는 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{k}$인 원 위의 점이다. 따라서 원이 $y = - x + 2$에 접할 경우 $k$의 값이 최소이다. 원점과 직선 $x + y - 2 = 0$ 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt{k}$의 최솟값이므로 $\displaystyle \frac{\left| 0 + 0 - 2 \right|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} , \sqrt{k} \geq \sqrt{2}$ $\therefore 6 ( x ^{2} + y ^{2} ) = 6 k \geq 12$