미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 직선 교점 좌표 극한

문제

자연수 nn에 대하여 두 직선 2x+y=4n2 x + y = 4 ^{n}, x−2y=2nx - 2 y = 2 ^{n}이 만나는 점의 좌표를 (an,bn)( a _{n} , b _{n} )이라 할 때, lim⁡n→∞bnan=p\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{b _{n}}{a _{n}} = p이다. 60p60 p의 값을 구하시오. [4점]

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해설

2x+y=4n2 x + y = 4 ^{n} ……① x−2y=2nx - 2 y = 2 ^{n} …… ② ① - ②×2에서 y=bn=4n−2n+15\displaystyle y = b _{n} = \frac{4 ^{n} - 2 ^{n+1}}{5} ①×2 - ②에서 x=an=2∙4n+2n5\displaystyle x = a _{n} = \frac{2 \bullet 4 ^{n} + 2 ^{n}}{5} lim⁡n→∞bnan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}}}=lim⁡n→∞4n−2n+152∙4n+2n5\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{4 ^{n} - 2 ^{n+1}}{5}}{\frac{2 \bullet 4 ^{n} + 2 ^{n}}{5}}}=1525\displaystyle = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#수열의 극한#연립방정식

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