확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 제품 정규분포

문제

어느 인스턴트 커피 제조 회사에서 생산하는 ${\mathrm{A}}$ 제품 $\mathrm{1}$ 개의 중량은 평균이 $\mathrm{9}$ , 표준편차가 $0.4$ 인 정규분포를 따르고, ${\mathrm{B}}$ 제품 $\mathrm{1}$ 개의 중량은 평균이 $\mathrm{20}$ , 표준편차가 $\mathrm{1}$ 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 ${\mathrm{A}}$ 제품 중에서 임의로 선택한 $\mathrm{1}$ 개의 중량이 $8.9$ 이상 $9.4$ 이하일 확률과 ${\mathrm{B}}$ 제품 중에서 임의로 선택한 $\mathrm{1}$ 개의 중량이 $\mathrm{19}$ 이상 $k$ 이하일 확률이 서로 같다. 상수 $k$ 의 값은? (단, 중량의 단위는 g이다.) [3점] ① $19.5$ ② $19.75$ ③ $\mathrm{20}$ ④ $20.25$ ⑤ $20.5$

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④

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해설

$\mathrm{N} _{A} \left( 9 , 0.4 ^{2} \right)$ , $\mathrm{N} _{B} \left( 20 , 1 ^{2} \right)$ $\mathrm{P} _{A} ( 8.9 \leq \mathit{x} \leq 9.4 ) = \mathrm{P} _{B} ( 19 \leq \mathit{x} \leq k )$ $\mathrm{P} _{A} ( 8.9 \leq \mathit{x} \leq 9.4 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} _{A} \left( \frac{8.9 - 9}{0.4} \leq z \leq \frac{9.4 - 9}{0.4} \right)$ $= \mathrm{P} _{A} ( - 0.25 \leq z \leq 1 )$ $\mathrm{P} _{B} ( 19 \leq \mathit{x} \leq k )$ $\displaystyle = \mathrm{P} _{B} \left( \frac{19 - 20}{1} \leq z \leq \frac{k - 20}{1} \right)$ $= \mathrm{P} _{B} ( - 1 \leq z \leq k - 20 )$ $k - 20 = 0.25$ $k = 20 . 25$

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