두 접선의 y절편 차의 최솟값

$f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 x$이고, $( t , f ( t ) )$에서의 접선의 방정식은 $y = ( 3 t ^{2} + 2 t ) ( x - t ) + t ^{3} + t ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $( t + 1 , f ( t + 1 ) )$에서의 접선의 방정식은 $y = ( 3 ( t + 1 ) ^{2} + 2 ( t + 1 ) ) ( x - t - 1 ) + ( t + 1 ) ^{3} + ( t + 1 ) ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 각각의 $y$절편 $g _{1} ( t ) , g _{2} ( t )$를 구하면 $g _{1} ( t ) = - 2 t ^{3} - t ^{2}$, $g _{2} ( t ) = - 2 ( t + 1 ) ^{3} - ( t + 1 ) ^{2}$ $\therefore$ $h ( t )$$= \left| g _{1} \left( t \right) - g _{2} \left( t \right) \right|$ $= | 6 t ^{2} + 8 t + 3 |$ $\displaystyle = \left| 6 \left( t + \frac{2}{3} \right) ^{2} + \frac{1}{3} \right|$ 따라서 $h ( t )$의 최솟값은 $\displaystyle t = - \frac{2}{3}$일 때 $\displaystyle \frac{1}{3}$