두 접선과 y축으로 둘러싸인 넓이

$f \left( x \right) = x ^{2} - 4 x - 3$에서 $f' \left( x \right) = 2 x - 4$ 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 1 , - 6 \right)$에서의 접선 $l$의 기울기는 $f' \left( 1 \right) = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$ 이므로 직선 $l$의 방정식은 $y - \left( - 6 \right) = - 2 \left( x - 1 \right)$ $\therefore$ $y = - 2 x - 4$ $g \left( x \right) = \left( x ^{3} - 2 x \right) f \left( x \right)$에서 $g' \left( x \right) = \left( 3 x ^{2} - 2 \right) f \left( x \right) + \left( x ^{3} - 2 x \right) f' \left( x \right)$ $f \left( 1 \right) = - 6$, $f' \left( 1 \right) = - 2$이므로 곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 1 , 6 \right)$에서의 접선 $m$의 기울기는 $g' \left( 1 \right)$$= \left( 3 - 2 \right) f \left( 1 \right) + \left( 1 - 2 \right) f' \left( 1 \right)$ $= f \left( 1 \right) - f' \left( 1 \right)$$= - 6 - \left( - 2 \right)$$= - 4$ 직선 $m$의 방정식은 $y - 6 = - 4 \left( x - 1 \right)$ $\therefore$ $y = - 4 x + 10$ 두 직선 $l$, $m$과 $y$축으로 둘러싸인 도형은 $y$축 위의 두 점 $\left( 0 , 10 \right)$, $\left( 0 , - 4 \right)$를 잇는 선분을 밑변으로 하고, 두 직선의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이다. 두 직선 $l$, $m$의 교점의 $x$좌표는 $- 2 x - 4 = - 4 x + 10$에서 $2 x = 14$ $\therefore$ $x = 7$ 따라서 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left\{ 10 - \left( - 4 \right) \right\} \times 7 = 49$