두 접선과 지름 원 조건의 삼차함수

$f \left( x \right) = - x ^{3} + ax ^{2} + 2 x$에서 $f' \left( x \right) = - 3 x ^{2} + 2 ax + 2$ $x = 0$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$의 접선의 기울기가 $f' \left( 0 \right) = 2$이므로 접선의 방정식은 $y = 2 x$ 직선 $y = 2 x$가 곡선 $y = f \left( x \right)$와 만나는 점의 $x$좌표는 $- x ^{3} + ax ^{2} + 2 x = 2 x$, $x ^{2} \left( x - a \right) = 0$ $x = 0$(중근) 또는 $x = a$ 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( a , 2 a \right)$이다. 점 $\mathrm{A}$가 선분 $\mathrm{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 $\mathrm{\angle} OAB = 90 ^\circ$ 따라서 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} \left( x - a \right) + 2 a = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} a$ $\therefore$ $\mathrm{B} \left( \mathit{5} a , 0 \right)$ 또한, $\displaystyle f' \left( a \right) = - \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle 2 - a ^{2} = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle a ^{2} = \frac{5}{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \mathit{\sqrt{5}} a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{5} \mathit{a}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} \times \overline{AB}$$= 10 a ^{2} = 25$