두 정육면체 부피 합

[출제의도] 곱셈 공식의 변형을 이용하여 정육면체의 부피의 합을 구한다. 두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 $a$, $b$라 하자. 한 정육면체의 모서리가 $12$개이고, 두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합이 $60$이므로 $12 \left( a + b \right) = 60$, 즉 $a + b = 5$ 한 정육면체의 면이 $6$개이고, 두 정육면체의 겉넓이의 합이 $126$이므로 $6 \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 126$, 즉 $a ^{2} + b ^{2} = 21$ $( a + b ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2} + 2 ab$에서 $25 = 21 + 2 ab$ $ab = 2$ 따라서 두 정육면체의 부피의 합은 $a ^{3} + b ^{3}$$= ( a + b ) ^{3} - 3 ab ( a + b )$$= 5 ^{3} - 3 \times 2 \times 5$$= 125 - 30$$= 95$ [다른 풀이] 두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 $a$, $b$라 하자. 한 정육면체의 모서리가 $12$개이고, 두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합이 $60$이므로 $12 \left( a + b \right) = 60$, 즉 $a + b = 5$ 한 정육면체의 면이 $6$개이고, 두 정육면체의 겉넓이의 합이 $126$이므로 $6 \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 126$, 즉 $a ^{2} + b ^{2} = 21$ $( a + b ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2} + 2 ab$에서 $25 = 21 + 2 ab$ $ab = 2$ 따라서 두 정육면체의 부피의 합은 $a ^{3} + b ^{3}$$= ( a + b ) ( a ^{2} - ab + b ^{2} )$$= 5 \times \left( 21 - 2 \right)$$= 95$