두 정규분포 조건

$\mathrm{E} \mathit{\left( X \right)} = m _{1}$, $\mathrm{E} \mathit{\left( Y \right)} = m _{2}$라 하면 두 확률변수 $X$, $Y$는 각각 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( m _{1} , 1 ^{2} \right)}$, $\mathrm{N} \mathit{\left( m _{2} , 1 ^{2} \right)}$을 따른다. $m _{1} = m _{2}$이면 조건 (나)를 만족시키지 못한다. $m _{1} \ne m _{2}$일 때, $f \left( x \right) = g \left( x \right)$를 만족시키는 $x$를 $a$라 하자. $k = f \left( a \right)$이면 조건 (나)를 만족시키지 못한다. $m _{1} > m _{2}$이면 $k < f \left( a \right)$, $k > f \left( a \right)$인 두 가지 경우 모두 $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq 2 \right)} - \mathrm{P} \mathit{\left( Y \leq 2 \right)}$의 값은 음수이므로 조건 (다)를 만족시키지 못한다.

$m _{1} < m _{2}$이면

$k < f \left( a \right)$일 때, 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 개형은 [그림$\mathrm{1}$]과 같다. $f \left( 1 \right) = f \left( 3 \right) = k$이므로 $m _{1} = 2$ $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq 2 \right)} = 0.5$ $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq 2 \right)} - \mathrm{P} \mathit{\left( Y \leq 2 \right)} < 0.5$이므로 조건 (다)를 만족시키지 못한다. $k > f \left( a \right)$일 때, 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 개형은 [그림$\mathrm{2}$]와 같다. $f \left( 1 \right) = f \left( 2 \right) = k$이므로 $m _{1} = 1.5$ $g \left( 3 \right) = g \left( 4 \right) = k$이므로 $m _{2} = 3.5$ $\mathrm{V} \mathit{\left( X \right)} = \mathrm{V} \mathit{\left( Y \right)} = 1 ^{2}$이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq 2 \right)} - \mathrm{P} \mathit{\left( Y \leq 2 \right)}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \leq \frac{2 - 1.5}{1} \right)} - \mathrm{P} \mathit{\left( Z \leq \frac{2 - 3.5}{1} \right)}$ $= \left\{ 0.5 + \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 0.5 \right)} \right\} - \left\{ 0.5 - \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right)} \right\}$ $= 0.6247$ 이므로 조건 (가), (나), (다)를 만족시킨다. 따라서 $\mathrm{P} \mathit{\left( X \geq 2.5 \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq \frac{2.5 - 1.5}{1} \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq 1 \right)}$$= 0.5 - \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 1 \right)} = 0.1587$