확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 정규분포 확률 비교

문제

어느 공장에서 생산되는 제품 AA의 무게는 정규분포 N(m,1)N ( m , 1 ) 을 따르고, 제품 BB의 무게는 정규분포 N(2m,4)N ( 2 m , 4 )를 따른다. 이 공장에서 생산된 제품 AA와 제품 BB에서 임의로 제품을 11개씩 선택할 때, 선택된 제품 AA의 무게가 kk이상일 확률과 선택된 제품 BB의 무게가 kk이하일 확률이 같다. km\displaystyle \frac{k}{m}의 값은? [4점] ①119\displaystyle \frac{11}{9}②54\displaystyle \frac{5}{4}③2318\displaystyle \frac{23}{18}④4736\displaystyle \frac{47}{36}⑤43\displaystyle \frac{4}{3}

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⑤

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해설

[출제의도] 정규분포에서의 확률을 구할 수 있는가 ? 제품 A의 무게를 XX라 하면 확률변수 XX는 정규분포 N(m,1)N ( m , 1 )을 따르고, 제품 B의 무게를 YY라 하면 확률변수 YY는 정규분포 N(2m,22)N ( 2 m , 2 ^{2} )을 따른다. 이때, P(X≥k)=P(X−m1≥k−m1)\displaystyle P ( X \geq k ) = P \left( \frac{X - m}{1} \geq \frac{k - m}{1} \right)=P(Z≥k−m)= P ( Z \geq k - m ) 이고, P(Y≤k)=P(Y−2m2≤k−2m2)\displaystyle P ( Y \leq k ) = P \left( \frac{Y - 2 m}{2} \leq \frac{k - 2 m}{2} \right) =P(Z≤k−2m2)\displaystyle = P \left( Z \leq \frac{k - 2 m}{2} \right)=P(Z≥−k−2m2)\displaystyle = P \left( Z \geq - \frac{k - 2 m}{2} \right) 이므로 두 확률이 같으려면 k−m=−k−2m2\displaystyle k - m = - \frac{k - 2 m}{2} 이 성립해야 한다. 이때, 2k−2m=−k+2m2 k - 2 m = - k + 2 m 즉, 3k=4m3 k = 4 m이므로 km=43\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{4}{3}이다.

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#정규분포#표준화

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