두 정규분포 확률 비교

확률변수 $X , Y$는 각각 정규분포 ${\mathrm{N}} ( 0 , a ^{2} )$, ${\mathrm{N}} ( 0 , b ^{2} )$을 따르므로 각각 $\displaystyle Z = \frac{X}{a}$, $\displaystyle Z = \frac{Y}{b}$로 표준화하면 모두 표준정규분포를 따른다. ㄱ. 확률변수$X$의 평균은 0이므로 ${\mathrm{P}} ( 1 \leq X \leq 2 ) > {\mathrm{P}} ( 2 \leq X \leq 3 )$ (거짓) ㄴ. ${\mathrm{P}} ( - a \leq X \leq 0 ) = {\mathrm{P}} ( - 1 \leq Z \leq 0 )$$= {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1 )$ ${\mathrm{P}} ( 0 \leq Y \leq b ) = {\mathrm{P}} ( 0 \leq Y \leq 1 )$ ∴${\mathrm{P}} ( - a \leq X \leq 0 )$$= {\mathrm{P}} ( 0 \leq Y \leq 1 )$ (참) ㄷ. ${\mathrm{P}} ( - 1 \leq X \leq 1 ) = 2 {\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 1 )$$\displaystyle = 2 {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{1}{a} \right)$ ${\mathrm{P}} ( - 2 \leq Y \leq 2 ) = 2 {\mathrm{P}} ( 0 \leq Y \leq 2 )$$\displaystyle = 2 {\mathrm{P}} \left( 0 \leq Z \leq \frac{2}{b} \right)$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$에서 $b = 2 a$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.