두 정규분포 확률

표준편차가 같은 정규분포곡선의 모양은 항상 일정하다. 확률변수 $X$, $Y$는 표준편차가 같은 정규분포를 따르고, 조건 (가)에 의하여 $m _{1} < 24 < 28 < m _{2}$, $f ( 24 ) = g ( 28 )$인 확률밀도함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\sigma _{1} = \sigma _{2} = \sigma$라 하자. $\mathrm{P} ( \mathit{m} _{1} {\leq} X {\leq} 24 ) = \mathrm{P} ( \mathit{28} {\leq} Y {\leq} m _{2} ) = 0.4772$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{0} {\leq} Z {\leq} \frac{24 - m _{1}}{\sigma} \right) = \mathrm{P} \left( \frac{\mathit{28} - m _{2}}{\sigma} {\leq} Z {\leq} 0 \right) = 0.4772$ $\mathrm{P} ( \mathit{0} {\leq} Z {\leq} 2 ) = \mathrm{P} ( \mathit{-} 2 {\leq} Z {\leq} 0 ) = 0.4772$ 이므로 $\displaystyle \frac{24 - m _{1}}{\sigma} = 2$, $\displaystyle \frac{28 - m _{2}}{\sigma} = - 2$ $24 - m _{1} = 2 \sigma$, $m _{2} - 28 = 2 \sigma$ $\cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의하여 $\mathrm{P} ( \mathit{Y} {\geq} 36 ) = 1 - \mathrm{P} ( \mathit{X} {\leq} 24 )$$= 1 - {\mathrm{P}} ( Z {\leq} 2 )$$= {\mathrm{P}} ( Z {\geq} 2 )$

$\displaystyle \frac{36 - m _{2}}{\sigma} = 2$, $36 - m _{2} = 2 \sigma$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $m _{2} - 28 = 36 - m _{2}$ $m _{2} = 32$이므로 $\sigma = 2$, $m _{1} = 20$ 따라서 $\mathrm{P} ( \mathit{18} {\leq} X {\leq} 21 )$$= {\mathrm{P}} ( - 1 {\leq} Z {\leq} 0.5 )$ $= 0.3413 + 0.1915$$= 0.5328$