두 정규분포 곡선의 교점

[출제의도] 정규분포의 성질을 이용하여 확률을 구하는 문제를 해결한다. 두 확률변수 $X$와 $Y$는 모두 정규분포를 따르고 표준편차가 같으므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 일치한다. 따라서 $g ( x ) = f ( x - 4 )$이다. 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표가 $a$이므로 $f ( a )$$= g ( a )$$= f ( a - 4 )$ $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = 8$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{a + ( a - 4 )}{2} = 8$ $a = 10$ ${\mathrm{P}} ( 8 \leq Y \leq a )$$= {\mathrm{P}} ( 8 \leq Y \leq 10 )$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{8 - 12}{2} \leq Z \leq \frac{10 - 12}{2} \right)$ $= {\mathrm{P}} ( - 2 \leq Z \leq - 1 )$ $= {\mathrm{P}} ( 1 \leq Z \leq 2 )$ $= {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 2 ) - {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1 )$ $= 0.4772 - 0.3413$ $= 0.1359$ [참고]