확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 정규분포 곡선 넓이

문제

아래 그림은 정규분포 $\mathrm{N} ( 40 , 10 ^{2} )$ , $\mathrm{N} ( 50 , 5 ^{2} )$ 을 따르는 두 확률변수 $X$ , $Y$ 의 정규분포곡선을 나타낸 것이다.그림과 같이 $40 \leq x \leq 50$ 인 범위에서 두 곡선과 직선 $x = 40$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{1}$ , 두 곡선과 직선 $x = 50$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$ 라 할 때, $S _{2} - S _{1}$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

$z$	$\mathrm{P} ( \mathit{0} \leq Z \leq z )$
$1$	$0.3413$
$2$	$0.4772$
$3$	$0.4987$

① $0.1248$ ② $0.1359$ ③ $0.1575$ ④ $0.1684$ ⑤ $0.1839$

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②

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해설

[출제의도] 정규분포곡선을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 그림에서 어두운 부분의 넓이를 $S$ 라 하자.

$S _{1} = \mathrm{P} ( \mathit{40} \leq X \leq 50 ) - S$ $S _{2} = \mathrm{P} ( \mathit{40} \leq Y \leq 50 ) - S$ $= \mathrm{P} ( \mathit{50} \leq Y \leq 60 ) - S$ ∴ $S _{2} - S _{1}$ $= \mathrm{P} ( \mathit{50} \leq Y \leq 60 ) - \mathrm{P} ( \mathit{40} \leq X \leq 50 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq \frac{60 - 50}{5} \right) - \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq \frac{50 - 40}{10} \right)$ $= \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 2 \right) - \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 1 \right)$ $= 0.4772 - 0.3413 = 0.1359$

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