두 정규분포 비교

[출제의도] 정규분포의 성질을 이해하여 확률을 구하는 문제를 해결한다. $\mathrm{E} \mathit{(} X ) = m _{1}$, $\mathrm{E} \mathit{(} Y ) = m _{2}$, $\mathrm{V} ( \mathit{X} ) = \mathrm{V} ( \mathit{Y} ) = \sigma ^{2}$ 으로 놓으면 두 확률변수 $X$, $Y$는 각각 정규분포 $\mathrm{N} \left( \mathit{m} _{1} , \sigma ^{2} \right)$, $\mathrm{N} \left( \mathit{m} _{2} , \sigma ^{2} \right)$을 따른다. 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = m _{1}$에 대하여 대칭이고, $f ( a ) = f ( 3 a )$이므로 $\displaystyle m _{1} = \frac{a + 3 a}{2} = 2 a$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 평행이동 하면 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 일치하고, $f ( a ) = f ( 3 a ) = g ( 2 a )$이므로 $g ( 0 ) = g ( 2 a )$ 또는 $g ( 2 a ) = g ( 4 a )$ 이때 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 직선 $x = m _{2}$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle m _{2} = \frac{0 + 2 a}{2} = a$ 또는 $\displaystyle m _{2} = \frac{2 a + 4 a}{2} = 3 a$ $\mathrm{P} \left( \mathit{Y} \leq 2 a \right) = 0.6915 > \mathrm{0.5}$이므로 $m _{2} < 2 a$이다. $a > 0$이므로 $m _{2} = a$ 확률변수 $Z$가 표준정규분포 $\mathrm{N} ( 0 , 1 )$을 따를 때 $\mathrm{P} \left( \mathit{Y} \leq 2 a \right)$$\displaystyle \mathrm{=} P \left( \mathit{Z} \leq \frac{2 a - a}{\sigma} \right)$$\displaystyle \mathrm{=} P \left( \mathit{Z} \leq \frac{a}{\sigma} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} 0.5 + P \left( \mathit{0} \leq Z \leq \frac{a}{\sigma} \right)$$= 0.6915$ $\mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 0.5 \right) = 0.1915$이므로 $\displaystyle \frac{a}{\sigma} = 0.5$, 즉 $\sigma = 2 a$ 따라서 $\mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq X \leq 3 a \right)$$\displaystyle \mathrm{=} P \left( \frac{\mathit{0 - 2 a}}{2 a} \leq Z \leq \frac{3 a - 2 a}{2 a} \right)$ $\mathrm{=} P \left( \mathit{-} 1 \leq Z \leq 0.5 \right)$ $\mathrm{=} P \left( \mathit{0} \leq Z \leq 1 \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 0.5 \right)$ $= 0.3413 + 0.1915$ $= 0.5328$