미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 점의 속도와 거리

문제

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 시각 t(t≥0)t \left( t \geq 0 \right)에서의 속도가 각각 f(t)=t2−tf \left( t \right) = t ^{2} - t, g(t)=−3t2+6tg \left( t \right) = - 3 t ^{2} + 6 t 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. 점 P\mathrm{P}는 출발 후 운동방향을 11번 바꾼다. ㄴ. t=2t = 2에서 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q의 가속도를 각각 p,qp , q라 할 때, pq<0p q < 0이다. ㄷ. t=0t = 0부터 t=3t = 3까지 점 Q\mathrm{Q}가 움직인 거리는 88이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 ㄱ. f(t)=t(t−1)f \left( t \right) = t ( t - 1 )이므로 t=1t = 1에서 점 P\mathrm{P}는 운동방향을 11번 바꾼다. (참) ㄴ. 시각 tt에서 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 가속도는 각각f′(t)=2t−1f' ( t ) = 2 t - 1, g′(t)=−6t+6g' ( t ) = - 6 t + 6이다. p=f′(2)=3p = f' ( 2 ) = 3, q=g′(2)=−6q = g' ( 2 ) = - 6이므로 pq<0p q < 0이다. (참) ㄷ. t=0t = 0부터 t=3t = 3까지 점 Q\mathrm{Q}가 움직인 거리는 ∫03∣g(t)∣dt=∫02g(t)dt−∫23g(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{3} {\left| g ( t ) \right| dt =} \int _{0} ^{2} {g \left( t \right) dt - \int _{2} ^{3} {g \left( t \right) dt}} =∫02(−3t2+6t)dt−∫23(−3t2+6t)dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {( - 3 t ^{2} + 6 t ) dt - \int _{2} ^{3} {( - 3 t ^{2} + 6 t ) dt}} =4+4=8= 4 + 4 = 8 (참) 따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

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