미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 점의 속도

문제

수직선 위를 움직이는 두 점 ${\mathrm{P}}$ , ${\mathrm{Q}}$ 의 시각 $t$ $( t \geq 0 )$ 에서의 위치 $x _{1}$ , $x _{2}$ 가 $x _{1} = t ^{3} - 2 t ^{2} + 3 t$ , $x _{2} = t ^{2} + 12 t$ 이다. 두 점 ${\mathrm{P}}$ , ${\mathrm{Q}}$ 의 속도가 같아지는 순간 두 점 ${\mathrm{P}}$ , ${\mathrm{Q}}$ 사이의 거리를 구하시오. [4점]

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[출제의도] 수직선 위를 움직이는 점의 속도를 구할 수 있는가? 두 점 $\mathrm{P} , Q$ 의 시각 $t$ 에서의 속도를 각각 $v _{1} , v _{2}$ 라 하면 $v _{1} = 3 t ^{2} - 4 t + 3 , v _{2} = 2 t + 12$ 이므로 $3 t ^{2} - 4 t + 3 = 2 t + 12$ 에서 $3 t ^{2} - 6 t - 9 = 0$ $( t + 1 ) ( t - 3 ) = 0$ $t \geq 0$ 이므로 $t = 3$ 이고 이때 두 점 $\mathrm{P} , Q$ 의 위치는 각각 $18 , 45$ 이다. 따라서 구하는 두 점 사이의 거리는 $45 - 18 = 27$

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