두 점까지 거리의 합의 최솟값

$\displaystyle \sqrt{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}}$은 두 점 $( x , y )$과 $( 0 , - 1 )$의 거리이다. $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2}}$은 두 점 $( x , y )$과 $( 0 , 3 )$의 거리이다. $\mathrm{P}$$( x , y )$, $\mathrm{A}$$( 0 , - 1 )$, $\mathrm{B}$$( 0 , 3 )$라 하고 점 $\mathrm{B}$를 직선 $2 x - y = 2$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}'$이라 할 때, $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}}$$\displaystyle + \sqrt{x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PB}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PB}'$$\displaystyle \geq \mathrm{\overline{AB}}'$

따라서 구하는 값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}'$이다. $\mathrm{B}'$$( a , b )$라 놓으면 선분 $\mathrm{BB}'$을 직선 $2 x - y = 2$가 수직이등분하므로 선분 $\mathrm{BB}'$의 중점은 직선 $2 x - y = 2$ 위에 있고 직선 $\mathrm{BB}'$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle 2 \cdot \frac{a + 0}{2} - \frac{b + 3}{2} = 2$에서 $2 a - b = 7$ ⋯⋯ ㉠ $\displaystyle \frac{b - 3}{a - 0} = - \frac{1}{2}$에서 $a + 2 b = 6$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 4$, $b = 1$ ∴ $\mathrm{B}' ( 4 , 1 )$ 따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$