두 점이 만나는 횟수

시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 속도가 ${\vec{v}} = \left( 2 t , 2 \pi \sin 2 \pi t \right)$이므로 시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치를 $( x , y )$라 할 때, $\displaystyle x = 0 + \int _{0} ^{t} {} 2 s ds = \left[ s ^{2} \right] _{0} ^{t} = t ^{2}$ $\displaystyle y = - 1 + \int _{0} ^{t} {} 2 \pi \sin 2 \pi s ds = - 1 + \int _{0} ^{2 \pi t} {} \sin u du$$= - 1 + \left[ - \cos u \right] _{0} ^{2 \pi t} = - \cos 2 \pi t$ ($2 \pi s = u$로 치환하면 $2 \pi ds = du$) 이므로 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $( x , y ) = ( t ^{2} , - \cos 2 \pi t )$이다. 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$가 만나기 위해서는 각각의 $x$좌표와 $y$좌표가 같아야 하므로 ① $( \mathrm{P} \text{의} \mathit{x} \text{좌표} ) = ( \mathrm{Q} \text{의} \mathit{x} \text{좌표} )$ $t ^{2} = 4 \sin 2 \pi t$⋯⋯㉠ ② $( \mathrm{P} \text{의} \mathit{y} \text{좌표} ) = ( \mathrm{Q} \text{의} \mathit{y} \text{좌표} )$일때 $- \cos 2 \pi t = \left| \cos 2 \pi t \right|$ 이므로 $\cos 2 \pi t \leq 0$⋯⋯㉡ ㉠과 ㉡조건을 만족하는 $t$좌표를 구하기 위하여 그래프를 그려보면 다음 그림과 같다.

조건을 만족하는 교점의 개수가 2개이므로 출발 후 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 2회 만난다.