두 점이 만날 때까지 거리

시각 $t \left( t \geq 0 \right)$에서 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$의 위치를 각각 $x _{1} \left( t \right)$, $x _{2} \left( t \right)$라 하면 $x _{1} \left( t \right) = t ^{3} - 3 t ^{2} - 2 t$, $x _{2} \left( t \right) = - t ^{2} + 6 t$ $x _{1} \left( t \right) - x _{2} \left( t \right) = t ^{3} - 2 t ^{2} - 8 t = t \left( t + 2 \right) \left( t - 4 \right) = 0$에서 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$가 다시 만날 때의 시각은 $t = 4$이다. 점 ${\mathrm{Q}}$가 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{4} {} \left| v _{2} \left( t \right) \right| dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{4} {} \left| - 2 t + 6 \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left| - 2 t + 6 \right| dt + \int _{3} ^{4} {} \left| - 2 t + 6 \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left( - 2 t + 6 \right) dt + \int _{3} ^{4} {} \left( 2 t - 6 \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{2} + 6 t \end{array} \right] _{0} ^{3} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{2} - 6 t \end{array} \right] _{3} ^{4} = 9 + 1 = 10$