미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 점이 만드는 넓이 변화율

문제

그림과 같이 좌표평면에서 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 점 P\mathrm{P}는 점 A(1,0)\mathrm{A} ( 1 , 0 )에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 Q\mathrm{Q}는 점 A\mathrm{A}에서 출발하여 점 B(−1,0)\mathrm{B} ( - 1 , 0 )을 향하여 매초 11의 일정한 속력으로 xx축 위를 움직이고 있다. 점 P\mathrm{P}와 점 Q\mathrm{Q}가 동시에 점 A\mathrm{A}에서 출발하여 tt초가 되는 순간, 선분 PQ\mathrm{P} Q, 선분 QA\mathrm{Q} A, 호 AP\mathrm{A} P로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 SS라 하자. 출발한 지 11초가 되는 순간, 넓이 SS의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

①π4−1\displaystyle \frac{\pi}{4} - 1②π4\displaystyle \frac{\pi}{4}③π4+13\displaystyle \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3}④π4+12\displaystyle \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}⑤π4+1\displaystyle \frac{\pi}{4} + 1

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④

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해설

어두운 부분의 넓이를 S(t)S ( t )라 하면 (ⅰ) 0≤t≤10 \leq t \leq 1일 때 (호 AP\mathrm{AP}의 길이)=π2t\displaystyle = \frac{\pi}{2} t, ∠AOP=π2t\displaystyle {\mathrm{\angle} AOP} = \frac{\pi}{2} t, OQ‾=1−t\displaystyle {\mathrm{\overline{OQ}}} = 1 - t 이므로 S(t)=π4t−12(1−t)sin⁡π2t\displaystyle S ( t ) = \frac{\pi}{4} t - \frac{1}{2} ( 1 - t ) \sin \frac{\pi}{2} t lim⁡h→−0S(1+h)−S(1)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow - 0} {} \frac{S ( 1 + h ) - S ( 1 )}{h} =lim⁡h→−0π4(1+h)+12hcos⁡π2h−π4h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow - 0} {} \frac{\frac{\pi}{4} ( 1 + h ) + \frac{1}{2} h \cos \frac{\pi}{2} h - \frac{\pi}{4}}{h} =lim⁡h→−0(π4+12cos⁡π2)\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow - 0} {( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2} )}=π4+12\displaystyle = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} (ⅱ) 1<t≤21 < t \leq 2일 때 (호 AP\mathrm{AP}의길이)=π2t\displaystyle = \frac{\pi}{2} t, ∠AOP=π2t\displaystyle {\mathrm{\angle} AOP} = \frac{\pi}{2} t, OQ‾=t−1\displaystyle {\mathrm{\overline{OQ}}} = t - 1 이므로 S(t)=π4t+12(t−1)sin⁡π2t\displaystyle S ( t ) = \frac{\pi}{4} t + \frac{1}{2} ( t - 1 ) \sin \frac{\pi}{2} t lim⁡h→+0S(1+h)−S(1)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow + 0} {} \frac{S ( 1 + h ) - S ( 1 )}{h} =lim⁡h→+0π4(1+h)+12hcos⁡π2h−π4h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow + 0} {} \frac{\frac{\pi}{4} ( 1 + h ) + \frac{1}{2} h \cos \frac{\pi}{2} h - \frac{\pi}{4}}{h} =lim⁡h→−0(π4+12cos⁡π2)\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow - 0} {( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2} )}=π4+12\displaystyle = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} (ⅰ), (ⅱ)에서 S′(1)=π4+12\displaystyle S' ( 1 ) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}

태그

#시간에 대한 변화율#부채꼴 넓이

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