두 점 위치 같아짐

시각 $t$에서의 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$의 위치를 각각 $x _{1} \left( t \right)$, $x _{2} \left( t \right)$라 하자. 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하므로 $\displaystyle x _{1} \left( t \right) = \int _{0} ^{t} \left( u ^{2} - u \right) du$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} u ^{3} - \frac{1}{2} u ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{1}{3} t ^{3} - \frac{1}{2} t ^{2}$ $\displaystyle x _{2} \left( t \right) = \int _{0} ^{t} u du$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{2} u ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{1}{2} t ^{2}$ 시각 $t = k$에서 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$의 위치가 같으므로 $x _{1} \left( k \right) = x _{2} \left( k \right)$에서 $\displaystyle \frac{1}{3} k ^{3} - \frac{1}{2} k ^{2} = \frac{1}{2} k ^{2}$, $\displaystyle \frac{1}{3} k ^{3} - k ^{2} = 0$ $\displaystyle k ^{2} \left( \frac{1}{3} k - 1 \right) = 0$ $k > 0$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} k - 1 = 0$ $\therefore k = 3$