두 점 사이 거리와 이동 거리

두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 시각 $t = 0$일 때 각각 점 $\mathrm{A}$$\left( 1 \right)$, 점 $\mathrm{B}$$\left( 8 \right)$에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 시각 $t$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치를 각각 $x _{1} \left( t \right)$, $x _{2} \left( t \right)$라 하자. 시각 $t$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 속도가 각각 $v _{1} \left( t \right) = 3 t ^{2} + 4 t - 7$, $v _{2} \left( t \right) = 2 t + 4$이므로 $x _{1} \left( t \right)$$\displaystyle = 1 + \int _{0} ^{t} {} \left( 3 t ^{2} + 4 t - 7 \right) dt$$= t ^{3} + 2 t ^{2} - 7 t + 1$ $x _{2} \left( t \right)$$\displaystyle = 8 + \int _{0} ^{t} {} \left( 2 t + 4 \right) dt$$= t ^{2} + 4 t + 8$ 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 $4$이므로 $\left| x _{1} \left( t \right) - x _{2} \left( t \right) \right| = 4$, $\left| t ^{3} + t ^{2} - 11 t - 7 \right| = 4$ (ⅰ) $t ^{3} + t ^{2} - 11 t - 7 = - 4$일 때 $t ^{3} + t ^{2} - 11 t - 3 = 0$, $\left( t - 3 \right) \left( t ^{2} + 4 t + 1 \right) = 0$ $t > 0$이므로 $t = 3$ (ⅱ) $t ^{3} + t ^{2} - 11 t - 7 = 4$일 때 $t ^{3} + t ^{2} - 11 t - 11 = 0$, $\left( t + 1 \right) \left( t ^{2} - 11 \right) = 0$ $t > 0$이므로 $\displaystyle t = \sqrt{11}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $t = 3$일 때 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 처음으로 $4$가 된다. 점 $\mathrm{P}$가 $t = 0$에서 $t = 3$까지 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left| v _{1} \left( t \right) \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left| 3 t ^{2} + 4 t - 7 \right| dt$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{1} {} \left( 3 t ^{2} + 4 t - 7 \right) dt + \int _{1} ^{3} {} \left( 3 t ^{2} + 4 t - 7 \right) dt$ $\displaystyle = - \left[ \begin{array}{l} t ^{3} + 2 t ^{2} - 7 t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{1} + \left[ \begin{array}{l} t ^{3} + 2 t ^{2} - 7 t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{3}$ $= 32$