두 점 사이 거리 보기

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 명제 추론하기 ㄱ. $n = 2$일 때, $\mathrm{A} \left( 1 , 1 \right)$, $\mathrm{B} \left( 3 , 1 \right)$이므로 $f \left( 2 \right) = 2$ (참) ㄴ. 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{6}{1 + \log _{2} n} , 1 \right)$이므로 $f \left( n \right) \geq 1$을 만족시키는 $f \left( n \right)$은 $\displaystyle f \left( n \right) = \frac{6}{1 + \log _{2} n} - 1$이다. $\displaystyle \frac{6}{1 + \log _{2} n} - 1 \geq 1$에서 $1 + \log _{2} n {\leq} 3$이므로 $1 {\leq} n {\leq} 4$이다. 따라서 $f \left( n \right) \geq 1$을 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $4$ (참) ㄷ. $\displaystyle \left| f \left( n \right) - 1 \right| \geq \frac{2}{3}$에서 $\displaystyle f \left( n \right) \geq \frac{3}{5}$ 또는 $\displaystyle 0 {\leq} f \left( n \right) {\leq} \frac{1}{3}$이다. (ⅰ) $\displaystyle f \left( n \right) \geq \frac{5}{3}$를 만족시키는 $f \left( n \right)$은 $\displaystyle f \left( n \right) = \frac{6}{1 + \log _{2} n} - 1$이다. $\displaystyle \frac{6}{1 + \log _{2} n} - 1 \geq \frac{5}{3}$에서 $\displaystyle \frac{6}{1 + \log _{2} n} \geq \frac{8}{3}$이므로 $\displaystyle \log _{2} n {\leq} \frac{5}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle 1 {\leq} n {\leq} 2 ^{\frac{5}{4}}$이고 $\displaystyle 2 < 2 ^{\frac{5}{4}} < 3$이므로 자연수 $n$은 $1 , 2$이다. (ⅱ) $\displaystyle 0 {\leq} f \left( n \right) \leq \frac{1}{3}$을 만족시키는 $f \left( n \right)$은 $\displaystyle f \left( n \right) = \left| \frac{6}{1 + \log _{2} n} - 1 \right|$이다. $\displaystyle 0 {\leq} \left| \frac{6}{1 + \log _{2} n} - 1 \right| \leq \frac{1}{3}$에서 $\displaystyle \frac{2}{3} \leq \frac{6}{1 + \log _{2} n} \leq \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{7}{2} {\leq} \log _{2} n {\leq} 8$이다. 따라서 $\displaystyle 2 ^{\frac{7}{2}} {\leq} n {\leq} 2 ^{8}$이고 $\displaystyle 11 < 2 ^{\frac{7}{2}} < 12$이므로 자연수 $n$은 $12$, $13$, $14 ,$$\cdots$, $256$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $n = 1 , 2 , 12 , 13 , 14 , \cdots , 256$이므로 $\displaystyle \left| f \left( n \right) - 1 \right| \geq \frac{2}{3}$를 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $247$ (거짓)