미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 점 만날 때 거리

문제

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 의 시각 $t$ ( $t \geq 0$ )에서의 속도를 각각 $f ( t )$ , $g ( t )$ 라 하면 $f ( t ) = t ^{2} + t$ , $g ( t ) = 5 t$ 이다. 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 가 출발 후 처음으로 만날 때까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리는? [4점] ① $82$ ② $84$ ③ $86$ ④ $88$ ⑤ $90$

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⑤

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해설

$t$ 초 후 두 점의 위치는 각각 $\displaystyle \frac{1}{3} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2}$ , $\displaystyle \frac{5}{2} t ^{2}$ 위치가 같으므로 $\displaystyle \frac{1}{3} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2} = \frac{5}{2} t ^{2}$ 이것을 풀면 $t = 6$ 이다. $t > 0$ 일 때 각각의 점의 속도는 양수이므로, 점의 위치가 곧 움직인 거리이다. $\therefore$ $\displaystyle \frac{5}{2} \times 6 ^{3} = 90$

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