두 점 지나는 45° 평면

$A ( 0 , 2 , - 3 ) , B ( 0 , - 1 , 0 )$라 두면$\vec{AB} = ( 0 , - 3 , 3 )$이고 평면의 방정식의 법선벡터를 $\vec{n} = ( a , b , c )$라 두면 ⅰ) $\vec{n} \perp \vec{AB} \leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ $- 3 b + 3 c = 0 \therefore c = b \cdots \cdots \text{①}$ ⅱ) 평면 $y + z = 5$과 이루는 각이 $45 ^\circ$이므로 이 평면의 법선벡터를 $\vec{n}' = ( 0 , 1 , 1 )$라 두면 $\vec{n}$와 $\vec{n}'$가 이루는 각의 크기가 $45 ^\circ$이므로 $\vec{n} \cdot \vec{n}' = \left| \vec{n} \right| \left| \vec{n}' \right| \cos 45 ^\circ$ $\displaystyle b + c = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ 양변제곱하여 정리하면 $a ^{2} = 2 bc$이므로 ①을 대입하면 $a ^{2} = 2 b ^{2} \therefore a = \pm \sqrt{2} b \cdots \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 평면의 방정식의 방향비는 $\displaystyle a : b : c = \pm \sqrt{2} : 1 : 1$이므로 평면의 방정식은 $\displaystyle \pm \sqrt{2} ( x - 0 ) + ( y - 2 ) + ( z + 3 ) = 0$ $\displaystyle \therefore \pm \sqrt{2} x + y + z + 1 = 0$이다. $x$축과 만나는 점의 좌표는 $y = 0 , z = 0$을 대입하면 $\displaystyle x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \therefore \left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} , 0 , 0 \right)$