미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 점 두 번 만남

문제

수직선 위를 움직이는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 있다. 점 P\mathrm{P}는 점 A(5)\mathrm{A} ( 5 )를 출발하여 시각 tt에서의 속도가 3t2−23 t ^{2} - 2이고, 점 Q\mathrm{Q}는 점 B(k)\mathrm{B} ( \mathit{k} )를 출발하여 시각 tt에서의 속도가 11이다. 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q가 동시에 출발한 후 22번 만나도록 하는 정수 kk의 값은?(단, k≠5k \ne 5) [4점] ①22②44③66④88⑤1010

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②

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해설

[출제의도] 속도와 거리의 관계를 이해할 수 있는지 묻는 문제이다. tt에서의 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 위치를 각각 xPx _{\mathrm{P}}, xQx _{\mathrm{Q}}라 하면 xP=5+∫0t(3t2−2)dt=t3−2t+5\displaystyle x _{\mathrm{P}} = 5 + \int _{0} ^{t} {( 3 t ^{2} - 2 )} dt = t ^{3} - 2 t + 5, xQ=k+∫0t1dt=t+k\displaystyle x _{\mathrm{Q}} = k + \int _{0} ^{t} {1} dt = t + k 이때, 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 만나려면 t3−2t+5=t+kt ^{3} - 2 t + 5 = t + k 즉, t3−3t+5=kt ^{3} - 3 t + 5 = k이어야 한다. f(t)=t3−3t+5f ( t ) = t ^{3} - 3 t + 5라 하면 f′(t)=3t2−3=3(t−1)(t+1)f' ( t ) = 3 t ^{2} - 3 = 3 ( t - 1 ) ( t + 1 )이므로 t>0t > 0에서 함수 f(t)f ( t )의 그래프는 그림과 같다.

직선 y=ky = k와 곡선 y=f(t)y = f ( t )가 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 3<k<53 < k < 5이므로 정수 kk는 44이다.

태그

#속도와 위치#삼차함수 그래프

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