두 자료의 평균과 표준편차

자료 $A$가 서로 다른 $5$개의 수로 이루어져 있으므로 자료 $A$를 $a _{1}$, $a _{2}$, $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$ ($a _{1} < a _{2} < a _{3} < a _{4} < a _{5}$)라 하자 평균이 $25$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{i=1} ^{5} a _{i} = 125$, 중앙값이 $25$이므로 $a _{3} = 25$이다. 한편 자료 $B$는 $A$의 자료와 일치하므로 $B$의 자료를 $a _{1}$, $a _{2}$, $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$, $x$, $y$라 하자. ㉠ (참) $B$의 평균이 $25$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{i=1} ^{5} a _{i} + x + y = 175$, $x + y = 50$ 따라서, $x$, $y$는 모두 $25$이거나 한 개가 $25$보다 작으면 다른 한 개는 $25$보다 크다. 따라서 $B$의 중앙값도 $25$이다. ㉡ (참) $B$의 평균이 $27$이상이면 $\displaystyle \sum\limits _{i=1} ^{5} a _{i} + x + y \geq 189$, $x + y \geq 64$ $x$와 $y$가 모두 $32$미만이면 즉, $x < 32$, $y < 32$이면 $x + y < 64$이므로 모순이다. 따라서, $x$와 $y$ 중에서 적어도 하나는 $32$이상이다. ㉢ (참) $A$의 표준편차를 $\sigma$라 하면 $\displaystyle \sum\limits _{i=1} ^{5} \left( a _{i} - 25 \right) ^{2} = 5 \cdot \sigma ^{2}$ $B$의 분산은 $\displaystyle \frac{\sum\limits _{i=1} ^{5} \left( a _{i} - 25 \right) ^{2}}{7} = \frac{5 \cdot \sigma ^{2}}{7}$ $B$의 표준편차는 $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{7}} \sigma$이다. 따라서, $B$의 표준편차가 $A$의 표준편차보다 작다.