두 이차함수와 사각형

점 ${\mathrm{D}}$는 점 ${\mathrm{A}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\left( - 3 , 0 \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DB}}} = {\overline{\mathrm{DO}}} + {\overline{\mathrm{OB}}} = 3 + 1 = 4$ 삼각형 $\mathrm{DAB}$에서 밑변을 선분 $\mathrm{DB}$라 하면 높이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DA}}}$이므로 $\triangle \mathrm{DAB}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DB}}} \times {\overline{\mathrm{DA}}} = \frac{1}{2} \times 4 \times a$$= 2 a$ 삼각형 $\mathrm{CDB}$에서 밑변을 선분 $\mathrm{DB}$라 하면 높이가 $3 a$이므로 $\triangle \mathrm{CDB}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DB}}} \times 3 a$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 a$$= 6 a$ $\square \mathrm{ABCD}$$= \triangle \mathrm{DAB} \mathit{+} \triangle \mathrm{CDB}$$= 2 a + 6 a$$= 8 a$ $\square \mathrm{ABCD} \mathit{=} 16$이므로 $a = 2$ 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( - 3 , - 2 \right)$이고 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( 3 , 6 \right)$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점이 점 ${\mathrm{A}}$이므로 $f \left( x \right) = p \left( x + 3 \right) ^{2} - 2 \left( p \right.$는 상수$)$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 점 $\mathrm{B} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}$을 지나므로 $f \left( 1 \right) = p \left( 1 + 3 \right) ^{2} - 2 = 16 p - 2 = 0$ $\displaystyle p = \frac{1}{8}$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{8} \left( x + 3 \right) ^{2} - 2$ $f \left( - 1 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{8} \left( - 1 + 3 \right) ^{2} - 2$$\displaystyle = - \frac{3}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 선분 ${\mathrm{CD}}$가 $y$축과 만나는 점을 ${\mathrm{E}}$라 하고, 점 ${\mathrm{C}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하자. 두 삼각형 ${\mathrm{EDO}}$, ${\mathrm{CDH}}$에서 각 ${\mathrm{ODE}}$는 공통이고, $\angle \mathrm{EOD} \mathit{=} \angle \mathrm{CHD} \mathit{=} 90 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{EDO}$와 삼각형 ${\mathrm{CDH}}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{DO}}} : {\overline{\mathrm{DH}}} = {\overline{\mathrm{EO}}} : {\overline{\mathrm{CH}}}$에서 $\displaystyle 3 : 6 = {\overline{\mathrm{EO}}} : 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{EO}}} = 3$ 점 ${\mathrm{E}}$의 좌표는 $\left( 0 , 3 \right)$ 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점이 점 $\mathrm{C}$이므로 $g \left( x \right) = q \left( x - 3 \right) ^{2} + 6 \left( q \right.$는 상수$)$ 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 점 $\mathrm{E} \mathit{\left( 0 , 3 \right)}$을 지나므로 $g \left( 0 \right)$$= q \left( 0 - 3 \right) ^{2} + 6$$= 9 q + 6 = 3$ $\displaystyle q = - \frac{1}{3}$ $\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{1}{3} \left( x - 3 \right) ^{2} + 6$ $g \left( - 3 \right)$$\displaystyle = - \frac{1}{3} \left( - 3 - 3 \right) ^{2} + 6$$= - 6$ $\cdots \cdots$ ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서 $f \left( - 1 \right) \times g \left( - 3 \right)$$\displaystyle = \left( - \frac{3}{2} \right) \times \left( - 6 \right)$$= 9$