두 이차함수 그래프

이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 대칭축이 $y$축이고 점 ${\mathrm{D}}$의 $x$좌표가 $- 2$이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 $2$이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 제$4$사분면에 있는 꼭짓점 ${\mathrm{A}}$가 직선 $x = 2$ 위에 있으므로 $f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) ^{2} + b \left( b < 0 \right)$으로 놓을 수 있다. 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 원점 ${\mathrm{O}}$를 지나므로 $0 = a \times \left( 0 - 2 \right) ^{2} + b$, $b = - 4 a$ $f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) ^{2} - 4 a \left( a > 0 \right)$ 그러므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( 2 , - 4 a \right)$ $g \left( x \right) = cx ^{2} + d \left( c < 0 \right)$이라 하면 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 점 ${\mathrm{D}} \left( - 2 , 0 \right)$을 지나므로 $0 = c \times \left( - 2 \right) ^{2} + d$, $d = - 4 c$ $g \left( x \right) = cx ^{2} - 4 c$ 그러므로 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\left( 0 , - 4 c \right)$ 두 점 ${\mathrm{B}} \left( 2 , 0 \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 0 , - 4 c \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{- 4 c - 0}{0 - 2} = 2 c$이고 $y$절편이 $- 4 c$이므로 직선의 방정식은 $y = 2 cx - 4 c$ 두 점 ${\mathrm{O}} \left( 0 , 0 \right)$, ${\mathrm{A}} \left( 2 , - 4 a \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{- 4 a - 0}{2 - 0} = - 2 a$이고 $y$절편이 $0$이므로 직선의 방정식은 $y = - 2 ax$ 점 ${\mathrm{E}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이 ${\mathrm{D}} \left( - 2 , 0 \right)$이므로 점 ${\mathrm{E}}$의 $x$좌표는 $- 2$ 점 ${\mathrm{E}}$가 직선 ${\mathrm{BC}}$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{E}}$의 $y$좌표는 $2 c \times \left( - 2 \right) - 4 c = - 8 c$ 점 ${\mathrm{E}}$가 직선 ${\mathrm{OA}}$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{E}}$의 $y$좌표는 $- 2 a \times \left( - 2 \right) = 4 a$ 그러므로 $- 8 c = 4 a$ $a = - 2 c$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 사각형 ${\mathrm{OABC}}$는 사다리꼴이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = - 4 c$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 4 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = 2$이므로 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{OC}}} + {\overline{\mathrm{AB}}} \right) \times {\overline{\mathrm{OB}}} = \frac{1}{2} \times \left( - 4 c + 4 a \right) \times 2 = - 4 c + 4 a$ 사각형 ${\mathrm{OABC}}$의 넓이가 $9$이므로 $- 4 c + 4 a = 9$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 $- 12 c = 9$ $\displaystyle c = - \frac{3}{4}$, $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ 그러므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{3}{2} \left( x - 2 \right) ^{2} - 6$, $\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{3}{4} x ^{2} + 3$ $f \left( - 4 \right) = 48$, $g \left( - 4 \right) = - 9$ 따라서 $f \left( - 4 \right) + g \left( - 4 \right) = 48 + \left( - 9 \right) = 39$