두 확률밀도함수의 합이 상수

[출제의도] 확률밀도함수의 그래프를 이용하여 연속확률변수의 확률을 구할 수 있는가? $0 \leq x \leq 6$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$$= k$ ($k$는 상수) 이므로 $g \left( x \right)$$= k - f \left( x \right)$ 이때, $0 \leq Y \leq 6$이고 확률밀도함수의 정의에 의하여 $g \left( x \right)$$= k - f \left( x \right)$$\geq 0$ 즉, $k \geq f \left( x \right)$이므로 그림과 같이 세 직선 $x = 0$, $x = 6$, $y = k$ 및 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이는 $1$이다.

또한, $0 \leq x \leq 6$에서 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이도 $1$이므로 $k \times 6$$= \mathit{2}$ 따라서 $k$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ 이때, $\mathrm{P} \left( \mathit{6} k \leq Y \leq 15 k \right) = \mathrm{P} \mathit{\left( 2 \leq Y \leq 5 \right)}$ 이고 이 값은 세 직선 $x = 2$, $x = 5$, $\displaystyle y = \frac{1}{3}$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같고, $0 \leq x \leq 3$에서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{12} x$이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{6} k \leq Y \leq 15 k \right)$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( 2 \leq Y \leq 5 \right)}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \times \left\{ f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) \right\} \times 1 \right] + \left( \frac{1}{3} \times 2 - \frac{1}{4} \times 2 \right)$ $\displaystyle = \left\{ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right) \right\} + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{24} + \frac{1}{6}$ $\displaystyle = \frac{7}{24}$ 따라서 $p = 24$, $q = 7$이므로 $p + q$$= 31$