두 확률분포의 분산

[출제의도] 확률분포가 표로 주어진 확률변수의 분산을 구할 수 있는가? 확률변수 $X$가 갖는 값이 $X$$= 5$에 대하여 확률분포가 대칭이므로 $\mathrm{E} \mathit{\left( X \right)}$$= 5$ 또 $\mathrm{V} \mathit{\left( X \right)}$$\displaystyle = \frac{31}{5}$이므로 $\mathrm{E} \mathit{\left( X ^{2} \right)} - \left\{ \mathrm{E} \mathit{\left( X \right)} \right\} ^{2}$$\displaystyle = \frac{31}{5}$에서 $\mathrm{E} \mathit{\left( X ^{2} \right)}$$\displaystyle = 25 + \frac{31}{5}$ 이때 $\mathrm{E} \mathit{\left( X ^{2} \right)}$ $= 1 ^{2} \times a + 3 ^{2} \times b + 5 ^{2} \times c + 7 ^{2} \times b + 9 ^{2} \times a$ $= 82 a + 58 b + 25 c$ 이므로 $82 a + 58 b + 25 c$$\displaystyle = 25 + \frac{31}{5}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 확률변수 $X$가 갖는 값이 $Y$$= 5$에 대하여 확률분포가 대칭이므로 $\mathrm{E} \mathit{\left( Y \right)}$$= 5$이고, $\mathrm{E} \mathit{\left( Y ^{2} \right)}$ $\displaystyle = 1 ^{2} \times \left( a + \frac{1}{20} \right) + 3 ^{2} \times b + 5 ^{2} \times \left( c - \frac{1}{10} \right) + 7 ^{2} \times b + 9 ^{2} \times \left( a + \frac{1}{20} \right)$ $\displaystyle = 82 a + 58 b + 25 c + \frac{1}{20} - \frac{5}{2} + \frac{81}{20}$ $\displaystyle = 82 a + 58 b + 25 c + \frac{8}{5}$ ㉠에서 $\mathrm{E} \mathit{\left( Y ^{2} \right)}$$\displaystyle = 25 + \frac{31}{5} + \frac{8}{5}$$\displaystyle = 25 + \frac{39}{5}$ 따라서 $\mathrm{V} \mathit{\left( Y \right)}$$= \mathrm{E} \mathit{\left( Y ^{2} \right)} - \left\{ \mathrm{E} \mathit{\left( Y \right)} \right\} ^{2}$ $\displaystyle = 25 + \frac{39}{5} - 5 ^{2}$$\displaystyle = \frac{39}{5}$ 이므로 $10 \times \mathrm{V} \mathit{\left( Y \right)}$$\displaystyle = 10 \times \frac{39}{5}$$= 78$