미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 합의 비의 극한

문제

자연수 $n$ 에 대하여, $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ( k + 1 )$ , $\displaystyle T _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( n + k ) ( n + k + 1 )$ 일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{T _{n}}{S _{n}}}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$\displaystyle \begin{aligned} S _{n} & = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( k ^{2} + k \right) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3} \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} T _{n} & = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ k ^{2} + ( 2 n + 1 ) k + n ^{2} + n \right\} \end{aligned}$ $\displaystyle = \frac{n ( n + 1 ) ( 7 n + 2 )}{3}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{T _{n}}{S _{n}}} = 7$

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