두 구의 교원과 정사영

구 $S$의 방정식은 $S$$: x ^{2} + y ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 4 ^{2}$ 구 $S$와 $xy$평면이 만나서 생기는 원 $C$의 방정식은 $C$$: x ^{2} + y ^{2} = 15$ $\mathrm{A}$와의 관계를 그려 보면 아래와 같다.

선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 점 $\mathrm{M}$, 원 $C$의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 위의 그림에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = \sqrt{2 ^{2} - 1} = \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = \sqrt{4 ^{2} - 2 ^{2}} = 2 \sqrt{3}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 구 $S$와 구 $T$의 교선은 원을 이루고 그 지름이 선분 $\mathrm{PQ}$이므로 점 $\mathrm{M}$이 교원의 중심이다.

이때 삼각형 $\mathrm{BPQ}$는 한 평면을 이루고 $xy$평면과 이루는 각을 $\theta$라 하면, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$의 넓이가 최대일 때 그 정사영의 넓이가 최대가 된다. 삼각형 $\mathrm{BPQ}$의 넓이가 최대이려면 점 $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{PQ}$에 이르는 거리가 최대여야 하므로 점 $\mathrm{B}$는 선분 $\mathrm{PQ}$의 수직이등분선 위에 있다. 즉, 밑변의 길이가 선분 $\mathrm{PQ}$라면 삼각형의 높이는 선분 $\mathrm{BM}$이 된다. 즉, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$의 밑변은 ㉠에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 4 \sqrt{3}$이고 높이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{\overline{PQ}} = 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} BPQ = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 12$ $\cdots \cdots$ ㉡ 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{B}$를 지나는 평면은 다음 그림과 같다.

그림에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = 2 \sqrt{3}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{ABM}$은 $\displaystyle \mathrm{\angle} AMB = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 그러므로 $\theta = \mathrm{\angle} BMB' = \angle MAO$이고 $\displaystyle \cos \theta = \cos \mathrm{\angle} MAO = \frac{1}{2}$ 따라서 구하는 정사영의 최댓값은 $\mathrm{\triangle} BPQ \times \cos \theta$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}$$= 6$ ($\because$ ㉡)