기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 구의 교원 평면의 각

문제

좌표공간에서 두 개의 구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 6$ , $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} + ( z - 2 ) ^{2} = 9$ 가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 $x y$ 평면이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ ) [2점] ① $\displaystyle \frac{1}{3}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{4}$

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③

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해설

$x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 6 \cdots \cdots \text{①}$ $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} + ( z - 2 ) ^{2} = 9 \cdots \cdots \text{ ②}$ $\text{ ①} - \text{ ②} $:$ 2 x - 1 + 4 y - 4 + 4 z - 4 = - 3$ $\therefore 2 x + 4 y + 4 z = 6$ 평면 $\alpha$ 의 식은 $x + 2 y + 2 z = 3$ 평면 $\alpha$ 의 법선벡터는 $( 1 , 2 , 2 )$ $xy$ 평면의 법선벡터는 $( 0 , 0 , 1 )$ $\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{( 1 , 2 , 2 ) \bullet ( 0 , 0 , 1 )}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}} \sqrt{0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{2}{3}$

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